continuità della funzione distanza

Proposizione

$(X,d)$ spazio metrico, $\varnothing \ne A\subset X\Rightarrow$

$d_A:X\to \mathbb{R}$
$d_A(x)=d(x,A)$

funzione continua.

Osservazione: In altre parole la distanza da un sottoinsieme è continua.

Dimostrazione

$\forall x_0,x\in X$, $\forall a\in A$ per la disuguaglianza triangolare e passando all’inf si ha

$d(x,a)\le d(x,x_0)+d(x_0,a)\Rightarrow d_A(x)-d_A(x_0)\le d(x,x_0)$

da cui scambiando $x$ con $x_0$ si deduce

$|d_A(x)-d_A(x_0)|\le d(x,x_0).$

Si ottiene quindi la continuità ponendo $\delta :=\epsilon$ (non dipende da $x_0$ quindi è uniformemente continua e Lipsiziana).

Osservazione

$f:X\to \mathbb{R}$ continua $\Rightarrow$ i sottoinsiemi di $X$ definiti da:

• Un’equazione continua $f(x)=\alpha$
• Una disequazione $f(x)\ge \alpha$ o $f(x)\le \alpha$

con $\alpha \in \mathbb{R}$, sono chiusi in $X$ in quanto preimmagini di chiusi.

Analogamente i sottoinsiemi di $X$ definiti da:

• $f(x)>\alpha$ o $f(x)<\alpha$
• $f(x)\ne \alpha$

sono aperti in $X$.

Risorse