convergenza puntuale di successioni di funzioni

Definizione

Sia $(f_n{)}_n$ una successione di funzioni $f_n:E\to \mathbb{R}$,
si dice che $(f_n{)}_n$ converge puntualmente su $E$ ad una funzione $f:E\to \mathbb{R}$ se per ogni $x\in E$ esiste $\underset{n\to +\infty }{\lim }{f}_n(x)=f(x)$, ovvero se
$\forall x\in E,\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}=\overline{n}(\epsilon ,x):\forall n\ge \overline{n},\left|f_n(x)-f(x)\right|\le \epsilon$

Esempio: $f_n(x)=\frac{nx}{1+n\left|x\right|}$

$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{nx}{1+nx}& \text{se }x>0\\ 0& \text{se }x=0\\ \frac{nx}{1-nx}& \text{se }x<0\end{array}$

se $x>0\frac{nx}{1+nx}\stackrel{n\to +\infty }{⟶}1$ poiché $\frac{\text{/}nx}{\text{/}n\left(\frac{1}{n}+x\right)}\stackrel{n\to +\infty }{⟶}1$

se $x=0f_n(0)=0$

se $x<0\frac{nx}{1-nx}\stackrel{n\to +\infty }{⟶}-1$

Dunque si ha la convergenza puntuale verso

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{se }x>0\\ 0& \text{se }x=0\\ -1& \text{se }x<0\end{array}$

Esempio: $f_n:[0,1]\to \mathbb{R},f_n(x)=\{\begin{array}{ll}{n}^{2}x& \text{se }0\le x\le \frac{1}{n}\\ \frac{1}{n}& \text{se }\frac{1}{n}<x\le 1\end{array}$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{f}_n(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }x=0\\ \frac{1}{x}& \text{se }x>0\end{array}$

Infatti fissato $x$, $0<x\le 1$ si ha che $\exists \overline{n}:\forall n\ge \overline{n},x>\frac{1}{n}$ e dunque $f_n(x)=\frac{1}{x}$ (in quanto $\frac{1}{n}<x\le 1$).

Risorse