coppie ordinate e prodotto cartesiano

Definizione

Una coppia ordinata è un aggregato con due elementi in cui si distingue il primo elemento e il secondo elemento.

$(a,b)\ne \{a,b\}$

$\{a,b\}=\{b,a\}$

$(a,b)=(a^{\prime },b^{\prime })\iff a=a^{\prime },b=b^{\prime }$

$(a,b)\ne (b,a)$
a meno che $a=b$

Definizione:
Siano $A,B$ insiemi,
$A\times B=\{(a,b):a\in A,b\in B\}$
è detto insieme prodotto cartesiano di $A$ e $B$.

Anche il piano cartesiano è un prodotto cartesiano

$\Pi =\{(a,b):a\in \mathbb{R},b\in \mathbb{R}\}$

in questo caso $A=B=\mathbb{R}$, quindi

$\mathbb{R}\times \mathbb{R}={\mathbb{R}}^2$

Similmente

$A\times B\times C=\{(a,b,c):a\in A,b\in B,c\in C\}$

${\mathbb{R}}^3=\{(x,y,a):x,y,z\in \mathbb{R}\}$
nello spazio a tre dimensioni

${\mathbb{R}}^n=\{(x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n):x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n\in \mathbb{R}\}$
n-upla, tupla ordinata (vettore)

$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$
$B=\{b_1,b_2,b_3,b_4\}$

$A\times B=\{(a_i,b_j):i=(1,2,3,4,5),j=(1,2,3,4)\}$

Osservazione:
numeri divisibili per $3=\{n\in \mathbb{N}:\exists k\in \mathbb{N}:(n=3k)\}=\{n\in \mathbb{N}:\mathcal{P}(n)\}$
con $\mathcal{P}(n)=\exists k\in \mathbb{N}:(n=3k)$
la variabile $k$, preceduta dal quantificatore esistenziale, è muta.

I predicati binari sono quelli giusti per i prodotti cartesiani.

Indicando in $A\times B$ l’insieme delle coppie che soddisfano $\mathcal{P}(x,y)\to$ predicato binario

Esempi
$A=\{$ragazzi in quest’aula$\}$
$B=\{$ragazze in quest’aula$\}$

$\mathcal{P}(x):$ $x$ è amico di $y$
Relazione di “amicizia” tra due insiemi

relazione tra due insiemi
equazioni cartesiane

Risorse