dominio ad ideali principali (PID)

Definizione

Un dominio di integrità si dice dominio ad ideali principali (in breve PID) se ogni suo ideale è principale.

Osservazione

i) Gli ideali banali $\{0\}$ ed $A$ si possono scrivere come $(0)$ e $(1)$ rispettivamente.

ii) $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ è un dominio d’integrità e i suoi ideali sono tutti e soli i sottoanelli della forma $(m)=m\mathbb{Z}=\{ma\mid a\in \mathbb{Z}\}$ con $m\in \mathbb{Z}$ fissato, cioè $\mathbb{Z}$ è un PID.

Osservazione

Se $A$ è un anello ed $I\subseteq A$ un suo ideale allora:

i) $I$ è ideale primo $⟺A/I$ dominio d’integrità
ii) $I$ è ideale massimale $⟺A/I$ un campo.

Risorse