formulazione algebrica del teorema cinese dei resti

Teorema

Siano $m_1,m_2,\dots ,m_r\in \mathbb{N}$ a due a due coprimi.
Allora ${\mathbb{Z}}_{m_1},{\mathbb{Z}}_{m_2},\dots ,{\mathbb{Z}}_{m_r}\cong {\mathbb{Z}}_{m_1}\times {\mathbb{Z}}_{m_2}\times \cdots \times {\mathbb{Z}}_{m_r}$.

Dimostrazione

Consideriamo la seguente applicazione:

$$f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_{m_1}\times {\mathbb{Z}}_{m_2}\times \cdots \times {\mathbb{Z}}_{m_r}$$

$f$ è un omomorfismo di anelli.

Sia $(a_1,a_2,\dots ,a_r)\in {\mathbb{Z}}_{m_1}\times {\mathbb{Z}}_{m_2}\times \cdots \times {\mathbb{Z}}_{m_r}$.

Se $f$ è surgettiva, allora deve esistere $x\in \mathbb{Z}$ tale che $f(x)=(a_1,a_2,\dots ,a_r)$.

Cioè $([x{]}_{m_1},[x{]}_{m_2},\dots ,[x{]}_{m_r})=([a_1{]}_{m_1},[a_2{]}_{m_2},\dots ,[a_r{]}_{m_r})$.

Ciò significa che il sistema di congruenze

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{m}_2)\\ ⋮\\ x\equiv a_r(\mathrm{mod}{m}_r)\end{array}$$

Supponiamo che $f$ sia suriettiva. $\mathbb{Z}/\ker f\cong {\mathbb{Z}}_{m_1}\times {\mathbb{Z}}_{m_2}\times \cdots \times {\mathbb{Z}}_{m_r}$.

Calcoliamo $\ker f$:

$$\ker f=\{x\in \mathbb{Z}:x\equiv 0(\mathrm{mod}{m}_i),i=1,2,\dots ,r\}=(m_1{m}_2\cdots m_r)$$

Risorse