funzione continua

Definizione in Rn

Sia $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$, sia $x_0\in E$, sia $f:E\to \mathbb{R}$.
Allora $f$ si dice continua nel punto $x_0$ se

• $x_0$ è isolato

oppure se

• è di accumulazione e

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0),$$

dove il limite si intende rispetto alla norma euclidea $\Vert \cdot \Vert$ in ${\mathbb{R}}^n$.

Usando la nozione di limite con $\epsilon$ e $\delta$, $f$ è continua in $x_0$ se e solo se

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x\in E,\Vert x-x_0\Vert <\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$$

(possiamo omettere la condizione $0<\Vert x-x_0\Vert$ perché se $x=x_0$ allora $|f(x)-f(x_0)|=0<\epsilon$).

In conclusione $f$ è continua in $x_0$ se:

• $x_0$ è isolato o di accumulazione e ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
• $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x\in E,\Vert x-x_0\Vert <\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

Definizione globale

Se $f:E\to \mathbb{R}$ è continua in tutti i punti di $E$ allora $f$ si dice continua.

Definizione in R

Sia $E\subseteq \mathbb{R}$, sia $x_0\in E$, sia $f:E\to \mathbb{R}$,
($f$ è una funzione che ha per dominio $E$)
$f$ si dice continua nel punto $x_0$ se

• $x_0$ è isolato

oppure se

• $x_0$ è di accumulazione e $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$

Una funzione è continua in $x_0$ se esiste il limite per $x$ che tende a $x_0$ e il limite è il valore della funzione.

Usando la nozione di limite con $\epsilon$ e $\delta$ sarebbe
$f$ continua in $x_0$ se e solo se
$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x\in E,\boxed{0<}|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
Posso omettere $0<$ perché se $x=x_0$ allora $f(x)=f(x_0)$
e quindi $|f(x)-f(x_0)|=0<\epsilon$

In conclusione $f$ è continua in $x_0$ se:

• $x_0$ è isolato o di accumulazione e $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$
• $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x\in E,|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

Definizione
Se $f:E\to \mathbb{R}$ e $f$ è continua in tutti i punti di $E$ allora $f$ si dice continua.

Risorse