funzioni linearmente dipendenti

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale di funzioni su un campo $K$ (ad esempio $V=C(\mathbb{R})$, lo spazio delle funzioni continue su $\mathbb{R}$). Un insieme di funzioni $\{f_1,f_2,\dots ,f_n\}\subset V$ si dice linearmente dipendente se esistono scalari ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\in K$, non tutti nulli, tali che:

$${\alpha }_1{f}_1(x)+{\alpha }_2{f}_2(x)+\cdots +{\alpha }_n{f}_n(x)=0\text{per ogni }x\in \text{dominio}$$

Se l’unica combinazione lineare che dà la funzione nulla è quella banale (cioè con tutti ${\alpha }_i=0$), le funzioni si dicono linearmente indipendenti.

Criterio del wronskiano

Per funzioni $n-1$ volte derivabili, si può utilizzare il wronskiano:

$$W(f_1,f_2,\dots ,f_n)(x)=\det \left(\begin{array}{cccc}{f}_1(x)& f_2(x)& \cdots & f_n(x)\\ f_1^{\prime }(x)& f_2^{\prime }(x)& \cdots & f_n^{\prime }(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x)& \cdots & f_n^{(n-1)}(x)\end{array}\right)$$

Se $W(x)\ne 0$ per almeno un $x$, allora le funzioni sono linearmente indipendenti.

Risorse