gruppo ciclico

Definizione

Sono gruppi ciclici $G$ tali che $\exists g\in G$ tali che $G=⟨g⟩=\{g^n|n\in \mathbb{Z}\}$.
In questo caso $g$ si dice generatore di $G$.

Esempio

${\mathbb{Z}}_8=\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]\}$ è un gruppo ciclico generato da $[1]$.
${\mathbb{Z}}_8=\{1\cdot 1,1\cdot 2,1\cdot 3,1\cdot 4,1\cdot 5,1\cdot 6,1\cdot 7,1\cdot 8=0\}$

ma anche da $[3]$:
${\mathbb{Z}}_8=\{3\cdot 1=3,3\cdot 2=6,3\cdot 3=1,3\cdot 4=4,3\cdot 5=7,3\cdot 6=2,3\cdot 7=5,3\cdot 8=0\}$

Osservazioni

L’ordine di $⟨g⟩$ è l’ordine di $g$.

Se $G$ è un gruppo finito di ordine $n$, ogni suo elemento ha per ordine un numero $m$ divisore di $n$. Si prenda infatti $g\in G$ e si consideri $⟨g⟩=\{1,g,g^2,\dots g^n\}$. Per la chiusura del gruppo rispetto al prodotto abbiamo che $⟨g⟩\subseteq G$, e per il teorema di Lagrange, tale gruppo ha ordine $m$ divisore di $n$.

Teorema

Se i gruppi ciclici sono infiniti, allora sono isomorfi a $\mathbb{Z}$. Se sono finiti, allora sono isomorfi a ${\mathbb{Z}}_n$.

Per dimostrarlo, so che ogni gruppo ciclico $G=⟨g⟩$ si ottiene come immagine dell’omomorfismo suriettivo $f:\mathbb{Z}\to G,n\mapsto g^n$, e a seconda che il nucleo sia banale (caso ordine infinito, da cui $G\cong \mathbb{Z}$) oppure $n\mathbb{Z}$ (caso ordine finito $n$, da cui $G\cong {\mathbb{Z}}_n$), si ottiene la classificazione desiderata.

Osservazione

Ogni gruppo finito di ordine primo $p$ è ciclico, e per il teorema precedente è isomorfo a ${\mathbb{Z}}_p$. Infatti se $G$ è un gruppo e $|G|=p$, allora esiste $g\in G,g\ne 1$. Considerando il sottogruppo $H=⟨g⟩$, per il teorema di Lagrange, $|H|$ divide $|G|$, ovvero $|⟨g⟩|$ divide $p$. Questo può avvenire se e solo se $H$ ha ordine $p$. Per il teorema precedente abbiamo poi che $G=H=⟨g⟩\cong {\mathbb{Z}}_p$.

Risorse