ideale generato

Definizione

Dato un anello $(A,+,\cdot )$ ed un suo sottoinsieme $X\subset A$ si definisce l’ideale generato da $X$ come il più piccolo ideale di $A$ (in senso insiemistico) che contiene $X$. Per indicare questo ideale scriveremo $(X)$.

Osservazione

Sia $J_X=\{I\mid X\subset I,I\text{ ideale}\}$ l’insieme i cui elementi sono tutti e soli gli ideali contenenti $X$. L’ideale $\overline{I}={\bigcap }_{I\in J_X}I$ coincide con l’ideale $(X)$.

Infatti esiste quantomeno l’ideale banale $A\supseteq X$ e ciò implica che $J_X\ne \varnothing$. Vogliamo ora verificare che $\overline{I}$ sia effettivamente un ideale: Presi due elementi $a,b\in \overline{I}$ abbiamo che, per ogni ideale $I\in J_X$, $a,b\in I$. Essendo $I$ ideali essi sono in particolare sottogruppi con la somma, e quindi $a-b\in I$, ciò implica che $a-b\in \overline{I}$ e ricordando l’esercizio E1, questo ci garantisce che $\overline{I}$ è un sottogruppo di $A$ con la somma. La proprietà di assorbimento si verifica in modo analogo. Dunque l’intersezione di ideali è a sua volta un ideale.

Rimane ora da verificare che $\overline{I}$ è il più piccolo ideale contenente $X$. Per fare ciò supponiamo che esista un ideale $\hat{I}$ tale che $X\subseteq \hat{I}\subseteq \overline{I}$, ma ciò significa che $\hat{I}\in J_X$, e dalla definizione di $\overline{I}$ otteniamo $\overline{I}\subseteq \hat{I}$ e quindi $\hat{I}=\overline{I}$.

Osservazione

$(X)$ si può esprimere anche attraverso la formula:

$(X)=\left\{\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot x_i\mid a_i\in A,x_i\in X,n\in \mathbb{N}\right\}$.

Se $X=\{x_1,x_2,\dots ,x_k\}$ allora $(X)=\left\{\sum _{i=1}^k{a}_i\cdot x_i\mid a_i\in A\right\}$.

Risorse