insieme aperto e insieme chiuso in R

Definizioni

Definizione
Sia $A\subseteq \mathbb{R}$,

$A$ si dice aperto se $\forall x_0\in A,\exists r>0:]x_0-r,x_0+r[\subseteq A$

(cioè $A$ è aperto se e solo se tutti i punti sono punti interni)

$A$ è aperto $\iff$ $A=\dot{A}$

Definizione
Sia $C\subseteq \mathbb{R}$,

$C$ si dice chiuso se $\mathcal{C}C$ è aperto.

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Teorema
$\varnothing$ e $\mathbb{R}$ sono insiemi aperti.
L’unione di insiemi aperti è un insieme aperto.
L’intersezione di un numero finito insiemi aperti è un insieme aperto.

Teorema
$\varnothing$ e $\mathbb{R}$ sono insiemi chiusi.
L’intersezione di insiemi chiusi è un insieme chiuso.
L’unione di un numero finito insiemi chiusi è un insieme chiuso.

Dimostrazioni
$\mathbb{R}$ è aperto?
Se $x_0\in \mathbb{R}$, $\forall r>0,]x_0-r,x_0+r[\subseteq \mathbb{R}$, quindi sì.

$\varnothing$ è aperto?
Sì, perché i suoi elementi (non ce ne sono) hanno tutte le proprietà che si vogliono.

Siano $\{A_i,i\in I\}$ un insieme di insiemi aperti.

Considero $x_0\in \bigcup _{i\in I}{A}_i$
allora $\exists \overline{i}:x_0\in A_i$
ma $A_i$ è aperto,
$x_0\in A_{\overline{i}}\Rightarrow \exists r>0:]x_0-r,x_0+r[\subseteq A_i$
ma allora $]x_0-r,x_0+r[\subseteq \bigcup _{i\in I}{A}_i$
allora $\bigcup _{i\in I}{A}_i$ è aperto.

Siano $A_1,A_2$ due insiemi aperti.

$x_0\in A_1\cap A_2$

allora

$x_0\in A_1\Rightarrow \exists r_1>0:]x_0-r_1,x_0+r_1[\subseteq A_1$
$x_0\in A_2\Rightarrow \exists r_2>0:]x_0-r_2,x_0+r_2[\subseteq A_2$

scelgo $r=min(r_1,r_2)$

$]x_0-r,x_0+r[\subseteq A_1\cap A_2$

$A_1\cap A_2$ è aperto.

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Osservazione
Se considero l’intersezione di infiniti insiemi aperti, non è detto che sia un insieme aperto.

$I_n=]1-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}[=[1,2]$

Risorse