insieme dei numeri interi

Definizione

$\mathbb{Z}=\{\cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}$

Insieme dei numeri interi, ottenuto estendendo $\mathbb{N}$ agli opposti (negativi)
per poter risolvere equazioni come $x+a=b$ anche quando $a>b$.

Su $\mathbb{Z}$ è definita un’operazione di somma:

$+:\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$
$(a,b)\mapsto c=a+b$

Questa è un’operazione:

• associativa
  • $\forall a,b,c\in \mathbb{Z},a+(b+c)=(a+b)+c$
• commutativa
  • $\forall a,b\in \mathbb{Z},a+b=b+a$
• $\exists$ neutro (lo zero)
  • $\exists 0\in \mathbb{Z}:\forall a,a+0=0+a=a$
• $\forall$ elemento esiste l’inverso additivo
  • $\forall a\in \mathbb{Z},\exists (-a)\in \mathbb{Z}:a+(-a)=0$

Su $\mathbb{Z}$ è definita anche un’operazione di moltiplicazione:

$\cdot :\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$
$(a,b)\mapsto c=a\cdot b$

Questa è un’operazione:

• associativa
  • $\forall a,b,c\in \mathbb{Z},a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
• commutativa
  • $\forall a,b\in \mathbb{Z},a\cdot b=b\cdot a$
• $\exists$ neutro (l’uno)
  • $\exists 1\in \mathbb{Z}:\forall a,a\cdot 1=1\cdot a=a$

Distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma:

$\forall a,b,c\in \mathbb{Z},a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

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Su $\mathbb{Z}$ è definita anche una relazione d’ordine parziale compatibile con le operazioni:

$\forall a,b,c\in \mathbb{Z},$
$a\ge b\Rightarrow a+c\ge b+c$

Se $c\ge 0,$ allora
$a\ge b\Rightarrow a\cdot c\ge b\cdot c$

Nota: a differenza di $\mathbb{N}$, su $\mathbb{Z}$ l’ordine non è totale rispetto alla moltiplicazione
quando $c<0$, l’implicazione si inverte.

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Abbiamo dunque la struttura algebrica:

$(\mathbb{Z},+,\cdot ,\ge )$

che forma un anello ordinato.

Osservazione
A differenza di $\mathbb{N}$, l’insieme $\mathbb{Z}$ non è ben ordinato:
non ogni sottoinsieme ammette un minimo (es: $\mathbb{Z}$ stesso).

principio del buon ordinamento

Risorse