insieme dei numeri reali

Definizione

$\mathbb{R}$ è l’insieme dei numeri reali,
estensione di $\mathbb{Q}$ per includere limiti e radici irrazionali come $\sqrt{2},\pi ,e$, ecc.

Serve per trattare grandezze continue, come lunghezze, aree, tempo, ecc.

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$\mathbb{R}$ è un campo ordinato completo, cioè:

• ha le operazioni di somma e prodotto
  (come in $\mathbb{Q}$, con le stesse proprietà: associatività, commutatività, distributività, esistenza di neutri e inversi)

• ha un ordinamento totale $\le$ compatibile con le operazioni (soddisfa le stesse condizioni di un anello ordinato)

• ma in più, è completo:

Assioma di completezza

Ogni sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$ limitato superiormente ammette un estremo superiore.

Formalmente:
Se $A\subseteq \mathbb{R},A\ne \varnothing ,A$ è limitato superiormente,
allora $\exists \sup A\in \mathbb{R}$

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Esempio:
L’insieme
$A=\{q\in \mathbb{Q}\mid q^2<2\}$
non ha sup in $\mathbb{Q}$ (non esiste un razionale il cui quadrato sia esattamente 2)
ma ha sup in $\mathbb{R}$: $\sup A=\sqrt{2}$

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Densità:
$\mathbb{Q}$ è denso in $\mathbb{R}$,
cioè tra due numeri reali esistono infiniti razionali.

Ma anche $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ è denso:
tra due reali ci sono infiniti irrazionali.

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Struttura algebrica:

$(\mathbb{R},+,\cdot ,\le )$
è un campo ordinato completo, detto anche campo di Dedekind.
È isomorfo unico: ogni altro campo ordinato completo è isomorfo a $\mathbb{R}$.

struttura algebrica

introduzione assiomatica dell’insieme dei numeri reali

Risorse