integrazione per parti

Teorema

Siamo $f,g$ due funzioni di classe ${\mathcal{C}}^1$,
(significa derivabili con derivata continua)
allora
$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$
da cui
${\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)dx$

Dimostrazione

So che $(fg{)}^{\prime }=f{g}^{\prime }+f^{\prime }g$ e $f^{\prime }g$ e $g^{\prime }f$ sono funzioni continue
allora la funzione integrale di $f{g}^{\prime }+f^{\prime }g$ è
${\int }_a^{x}f(t)g^{\prime }(t)dt+{\int }_a^x{f}^{\prime }(t)g(t)dt=f(x)g(x)-f(a)g(a)$

da cui ${\int }_a^{b}f(t)g^{\prime }(t)dt=f(b)g(b)-f(a)g(a)-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)dx$

Risorse