integrazione per sostituzione

Teorema

Sia $g$ una funzione di classe ${\mathcal{C}}^1$,
$g:[\alpha ,\beta ]\to [a,b]$,
sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua,
sia $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ la funzione integrale di $f$,
allora $(F(g(x)){)}^{\prime }=F^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=f(g(x))g^{\prime }(x)$

di conseguenza
${\int }_{\alpha }^{\beta }f(g(t))g^{\prime }(t)dt={\int }_{g(\alpha )}^{g(\beta )}f(x)dx=F(g(\beta ))-F(g(\alpha ))$

se $g$ è invertibile e $g(\alpha )=a$ e $g(\beta )=b$,
${\int }_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(g(t))g^{\prime }(t)dt$

Dimostrazione

Risorse