irriducibile e primo

Definizione

Sia $(A,+,\cdot )$ un dominio d’integrità. Un elemento non unitario $a\in A$; $a\ne 0$ si dice:

i) irriducibile se $a=f\cdot g\Rightarrow f$ unitario oppure $g$ unitario.

ii) primo se $a\mid f\cdot g\Rightarrow a\mid f$ oppure $a\mid g$.

Osservazione

Se $a$ è primo allora $a$ è irriducibile.

Infatti sia $a$ primo. Supponiamo sia $a=fg$, $a\mid fg$ banalmente. Per ipotesi $a$ divide $f$ o $g$. Supponiamo divida $f$. Allora $\exists m\in A$ tale che $f=am$, sfruttando questa espressione troviamo che $a=(am)g=a(mg)$. Per l’osservazione 35 si ottiene $1=mg$, per cui $m$ è l’inverso di $g$ e dunque $g$ è unitario.

Risorse