limite in R

Definizione

Sia $f : E \to R$ , con $E \subseteq R$
siano $x_{0}, L \in \tilde{R}$ , sia $x_{0}$ punto di accumulazione per $E$

diciamo che $x \to x_{0} lim f (x) = L$ se

$\forall V$ intorno di $L$ ,
$\exists U$ intorno di $x_{0}$ :
$\forall x \in E$ ,
$x \in U ∖ {x_{0}}$
$⇓$
$f (x) \in V$

Interpretiamo la definizione nei vari casi:

$1)$ Siano $x_{0}, L \in R$

$x \to x_{0} lim f (x) = L$

$⇕$

$\forall ε > 0,$
$\exists δ > 0$
$\forall x \in E$
$0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$
$⇓$
$∣ f (x) - L ∣ < ε$

$2)$ Siano $x_{0} \in R, L = + \infty$

$x \to x_{0} lim f (x) = + \infty$

$⇕$

$\forall M > 0$
$\exists δ > 0$
$\forall x \in E$
$0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$
$⇓$
$f (x) > M$

$3)$ Siano $x_{0} = + \infty, L \in R$

$x \to + \infty lim f (x) = L$

$⇕$

$\forall ε > 0$
$\exists M > 0$
$\forall x \in E$
$x > M$
$⇓$
$∣ f (x) - L ∣ < ε$

$4)$ Siano $x_{0} = + \infty, L = + \infty$

$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$

$⇕$

$\forall N > 0$
$\exists M > 0$
$\forall x \in E$
$x > M$
$⇓$
$f (x) > N$

Definizione
Sia $f : E \to R$ , con $E \subseteq R$
sia $x_{0} \in R$ , $x_{0}$ punto di accumulazione per $E$
sia $L \in \tilde{R}$

$x \to x_{0}^{+} lim f (x) = L$ tende da destra

$\forall V d i L, \exists U d i x_{0} : \forall x \in E, x \in U ∖ {x_{0}} \cap] x_{0}, + \infty [\Rightarrow f (x) \in V$

$x \to x_{0}^{-} lim f (x) = L$ tende da sinistra

$\forall V d i L, \exists U d i x_{0} : \forall x \in E, x \in U ∖ {x_{0}} \cap [- \infty, x_{0} [\Rightarrow f (x) \in V$

Osservazione
È immediato che se $x \to x_{0} lim f (x) = L$ allora $x \to x_{0}^{+} lim f (x) = x \to x_{0}^{-} lim f (x) = L$ e viceversa.