limiti notevoli delle successioni in R

Teorema

Sia $a>1$, consideriamo $\underset{n}{\lim }{a}^n\stackrel{?}{=}+\infty$

Per Bernulli, se $a>1$, prendo $a=1+\rho$ con $\rho >0$, allora

$a^n=(1+\rho {)}^n\ge 1+\rho \cdot n$

quindi $\underset{n}{\lim }(1+\rho \cdot n)=\underset{x\to +\infty }{\lim }1+\rho \cdot x=+\infty$

perciò anche la potenza tende a infinito.

$\square$

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$\underset{n}{\lim }\frac{a^n}{n}$, con $a>1$

Uso Bernulli migliorata, cioè

$(1+\rho {)}^n\ge 1+\rho \cdot n+{\rho }^2\frac{n(n-1)}{2}$

Da questa formula, dividendo tutto per $n$, ottengo che

$\frac{(1+\rho {)}^n}{n}\ge \underset{0}{\underbrace{\frac{1}{n}}}+\underset{\rho }{\underbrace{\rho }}+\underset{+\infty }{\underbrace{\frac{n-1}{2}{\rho }^2}}$
$\Rightarrow \frac{a^n}{n}\to +\infty$

$\square$

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$\underset{n}{\lim }\sqrt[n]{a}\stackrel{?}{=}1$, con $a>1$

Supponiamo $\epsilon >0$
consideriamo $(1+\epsilon {)}^n$ e $\underset{n}{\lim }(1+\epsilon {)}^n=+\infty$
allora se $a>1$, avrò che
$\exists \overline{n}:\forall n,n>\overline{n}\Rightarrow (1+\epsilon {)}^n>a$

$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n,n>\overline{n}\Rightarrow 1+\epsilon >\sqrt[n]{a}>1$
$\Downarrow$
$1-\epsilon <\sqrt[n]{a}<1+\epsilon$
$\Downarrow$
$|\sqrt[n]{a}-1|<\epsilon$

$\square$

---

$\underset{n}{\lim }\sqrt[n]{n}=1$

So che $\underset{n}{\lim }\frac{a^n}{n}=+\infty$ con $a>1$

Supponiamo $\epsilon >0$
considero $\frac{(1+\epsilon {)}^n}{n}$ e $\underset{n}{\lim }\frac{(1+\epsilon {)}^n}{n}=+\infty$
allora se $a>1,n>1$, avrò che
$\exists \overline{n}:\forall n,n>\overline{n}\Rightarrow \frac{(1+\epsilon {)}^n}{n}>a$

$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n,n>\overline{n}\Rightarrow (1+\epsilon {)}^n>an>n>1$
$\Downarrow$
$1+\epsilon >\sqrt[n]{n}>1-\epsilon$
$\Downarrow$
$|\sqrt[n]{n}-1|<\epsilon$

$\square$

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$\underset{n}{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$

Provo che il limite esiste e vale un reale tra $2$ e $3$.
Per provarlo basta vedere che $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ è una successione crescente e limitata.

Proviamo che sia limitata (cioè $\forall n,2\le (1+\frac{1}{n}{)}^n\le 3$)

$(1+\frac{1}{n}{)}^n\stackrel{Newton}{=}\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})1^{n-j}(\frac{1}{n}{)}^j=$

$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)\cdot 1\cdot (\frac{1}{n}{)}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})\cdot 1\cdot (\frac{1}{n}{)}^1+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)\cdot 1\cdot (\frac{1}{n}{)}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})\cdot 1\cdot (\frac{1}{n}{)}^n=$

$=1\cdot 1\cdot 1+n\cdot 1\cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot 1\cdot \frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\cdot 1\cdot \frac{1}{n^3}+\cdots +\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-(n-1))}{n!}\cdot 1\cdot \frac{1}{n^n}=$

$=1+1+\frac{1}{2!}\underset{\le 1}{\underbrace{\frac{(n-1)}{n}}}+\frac{1}{3!}\underset{\le 1}{\underbrace{\frac{(n-1)}{n}}}\underset{\le 1}{\underbrace{\frac{(n-2)}{n}}}+\cdots +\frac{1}{n!}\underset{\le 1}{\underbrace{\frac{(n-1)}{n}}}\underset{\le 1}{\underbrace{\frac{(n-2)}{n}}}\cdots \underset{\le 1}{\underbrace{\frac{1}{n}}}$

$\le 1+1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}$

per induzione so che $n!>2^{n-1}$, quindi

$\le 1+1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}$

poiché $1+a+a^2+\cdots +a^n=\frac{1-a^2}{1-a}$, allora

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\le 2$

$1+1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1-\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{2}}=1+\frac{3}{2}\le 3$

conclusione

$2\le (1+\frac{1}{n}{)}^n\le 3$

Per la crescenza verifico che

$(1+\frac{1}{n}{)}^n\le (1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}$

$(1+\frac{1}{n}{)}^n=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\cdots +\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n})$

$(1+\frac{1}{n+1}{)}^{n+1}=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+\cdots +\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{n-1}{n+1})+\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{n}{n+1})$

Tutti i termini della seconda formula sono maggiori o uguali a quelli della prima formula, uno a uno; l’ultimo membro della seconda è in più, inoltre è maggiore a zero.

In conclusione, l’espressione iniziale per verificare la crescenza è vera.

$\square$

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altri limiti notevoli dimostrati in R

Risorse