matrice invertibile

Definizione

Sia $A\in M_n(\mathbb{R})$; A si dice invertibile se esiste $B\in M_n(\mathbb{R})$ tale che valga:

$A\cdot B=B\cdot A=1_n$

Proposizione
Sia $A,B\in M_n(\mathbb{R})$, allora

1. se $A$ è invertibile, allora l’inversa di $A$ è unica
2. se $A$ e $B$ sono invertibili, allora anche $A\cdot B$ è invertibile e la sua inversa è $B^{-1}\cdot A^{-1}$

Dimostrazione
1- siano $B,C$ entrambe inverse di $A$, allora
$A\cdot B=B\cdot A=1_n$
$A\cdot C=C\cdot A=1_n$

allora $B=B\cdot 1_n=B\cdot (A\cdot C)=(B\cdot A)\cdot C=1_n\cdot C=C$

2- mostriamo che $B^{-1}\cdot A^{-1}$ è inversa di $A\cdot B$ :
$(A\cdot B)\cdot (B^{-1}\cdot A^{-1})=A\cdot (B\cdot B^{-1})\cdot A^{-1}=A\cdot 1_n\cdot A^{-1}=A\cdot A^{-1}=1_n$
$(B^{-1}\cdot A^{-1})\cdot (A\cdot B)=B^{-1}\cdot (A^{-1}\cdot A)\cdot B=B^{-1}\cdot 1_n\cdot B=B^{-1}\cdot B=1_n$

Risorse