proposizione rango massimo se e solo se invertibile e algoritmo per invertire una matrice quadrata

Teorema

Sia $A\in M_n(K)$, allora $rg(A)=n$ (ovvero il rango di $A$ è massimo) se e solo se $A$ è invertibile.

rango di una matrice
matrice invertibile

Dimostrazione

"$\Leftarrow$"
Sia $A$ invertibile, allora per il teorema di Cramer, $\forall b\in K^n$ il sistema $A\cdot X=b$ è compatibile, dunque per il corollario precedente $rg(A)=n$.

"$\Rightarrow$"
Supponiamo che $rg(A)=n$, vogliamo mostrare che una certa $B\in M_n(K)$ tale che $AB=BA=1_n$; è sufficiente costruire $B$ tale che $AB=1_n$; ora, vale che

$AB=1_n$ se e solo se $A\cdot B^{(i)}=\left(\begin{array}{cc}0& \\ ⋮& \\ 1& (i)\text{ cioeˋ l’uno va in posizione i-esima}\\ ⋮& \\ 0& \end{array}\right)$

chiamiamo $e_i$ il vettore $\left(\begin{array}{cc}0& \\ ⋮& \\ 1& (i)\\ ⋮& \\ 0& \end{array}\right)$

se e solo se tutti i sistemi lineari $A\cdot B^{(i)}=e_i$, con $i\in \{1,\dots ,n\}$, hanno soluzione; dato che $rg(A)=n$, sappiamo che tutti questi sistemi lineari sono compatibili e dunque le loro soluzioni determinano le colonne di $B$.

Da questo risultato otteniamo un algoritmo per determinare l’inversa di una matrice quadrata $A\in M_n(K)$ quando essa è invertibile.

Abbiamo visto che per risolvere l’inversa di $A$ dobbiamo risolvere tutti i sistemi lineari del tipo $AX=e_i$, con $i\in \{1,\dots ,n\}$. Cerchiamo di risolverli tutti contemporaneamente, ovvero consideriamo la matrice

$$\left(\begin{array}{ccccc}& 1& 0& \dots & 0\\ & 0& 1& \dots & 0\\ A& 0& 0& \dots & 0\\ & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ & 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)$$

Notiamo che dato che $A$ è invertibile, il suo rango è $n$, quindi la sua forma a scala dopo l’algoritmo di Gauss è

$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccccc}\ast & \ast & \ast & \dots & \ast \\ 0& \ast & \ast & \dots & \ast \\ 0& 0& \ast & \dots & \ast \\ 0& 0& 0& \dots & \ast \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)$$

infatti $\tilde{A}$ è una matrice $n\times n$ e dato che $rg(A)=n$, $\tilde{A}$ deve avere $n$ righe non nulle.

Usando ancora operazioni elementari possiamo portare $\tilde{A}$ nella forma

$$\left(\begin{array}{ccccc}0& \ast & \ast & \dots & 0\\ 0& 0& \ast & \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\\ 0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)$$

Riassumendo, usando operazioni elementari possiamo portare $A$ nella matrice $1_n$.

Applichiamo ora queste operazioni elementari alla matrice $(A|1_n)$

otterremo una matrice del tipo $(1_n|B)$, con $B$ una certa matrice $M_n(K)$.

Ora la matrice di partenza codificava i sistemi $AX=e_i$, le cui soluzioni sono le colonne dell’inversa di $A$. Le operazioni elementari non cambiano le soluzioni del sistema. L’ultima matrice codifica i sistemi lineari $1X=B^{(i)}$, pertanto le soluzioni di quest’ultimo sistema sono le colonne della matrice inversa di $A$. Le soluzioni di questo sistema sono proprio le colonne di $B$, il che ci mostra che $B$ è l’inversa di $A$.

Risorse