metriche e norme equivalenti

Definizione

Due metriche $d_1$ e $d_2$ su $X$ sono equivalenti se $\exists C_1,C_2>0$ t.c.

$C_1{d}_1(x,y)\le d_2(x,y)\le C_2{d}_1(x,y),\forall x,y\in X.$
Due norme $\Vert \cdot {\Vert }_1$ e $\Vert \cdot {\Vert }_2$ su $V$ sono equivalenti se $\exists C_1,C_2>0$ t.c.

$C_1\Vert v{\Vert }_1\le \Vert v{\Vert }_2\le C_2\Vert v{\Vert }_1,\forall v\in V.$

Osservazioni

• Sono due relazioni d’equivalenza.
• Norme equivalenti su $V$ inducono metriche equivalenti.

Risorse