metriche equivalenti inducono la stessa topologia

Proposizione

Metriche equivalenti su un insieme $X$ inducono la stessa topologia.

$d_{1}, d_{2} : X \times X \to R$ metriche equivalenti $\Rightarrow \exists C_{1}, C_{2} > 0$ t.c.

$C_{1} d_{1} \leq d_{2} \leq C_{2} d_{1} ⟹ B_{d_{1}} (x, C_{2}^{- 1} r) \subset B_{d_{2}} (x, r) \subset B_{d_{1}} (x, C_{1}^{- 1} r) .$

… xes

$\forall x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in R^{n}$ o $C^{n}$ :

∣∣ x ∣ ∣_{1} = ∣ x_{1} ∣ + \dots + ∣ x_{n} ∣

∣∣ x ∣ ∣_{\infty} = max (∣ x_{1} ∣, \dots, ∣ x_{n} ∣)

∣∣ x ∣∣ = ∣∣ x ∣ ∣_{2} = ∣ x_{1} ∣^{2} + \dots + ∣ x_{n} ∣^{2}

Ho che:

∣∣ x ∣ ∣_{\infty} \leq ∣∣ x ∣ ∣_{1} \leq n ∣∣ x ∣ ∣_{\infty}

∣∣ x ∣ ∣_{\infty} \leq ∣∣ x ∣ ∣_{2} \leq n ∣∣ x ∣ ∣_{\infty}