norma

Definizione (Zuddas)

Consideriamo $\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C}$.

Sia $V$ uno spazio vettoriale reale o complesso. Una funzione

$||\cdot ||:V\to \mathbb{R}$

è detta norma su $V$ se valgono le seguenti $\forall v,w\in V$, $\forall \alpha \in \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$:

1. $||v||=0\Rightarrow v=0_V$ (non degerere)
2. $||\alpha v||=|\alpha |\cdot ||v||$ (omogenea)
3. $||v+w||\le ||v||+||w||$ (disuguaglianza triangolare per la norma)

Uno spazio vettoriale normato $(V,||\cdot ||)$ è uno spazio vettoriale reale o complesso $V$ munito di una norma.

Osservazioni

• $||0_V||=||0\cdot 0_V||=0\cdot ||0_V||=0$ (il viceversa del punto 1)
• $0=||0_V||=||v-v||\le ||v||+||-v||=2||v||$, $\forall v\in V\Rightarrow ||\cdot ||\ge 0$ (definita positiva)

Risorse