operazione con vettori liberi

Definizione

Dati due vettori liberi $\vec{U}$ e $\vec{V}$ definiamo la loro somma $\vec{U}+\vec{V}$ nella maniera seguente:

1. scegliamo un rappresentante $\overrightarrow{AB}$ per $\vec{U}$, ovvero $\vec{U}=[\overrightarrow{AB}]$
2. per la proposizione che abbiamo enunciato prima, possiamo scegliere un vettore applicato e un $\vec{V}$ tale che il suo punto iniziale sia $B$, ovvero un vettore $\overrightarrow{BC}\in \vec{V}$, ovvero $\vec{V}=[\overrightarrow{BC}]$
3. definiamo $\vec{U}+\vec{V}:=[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}](=[\overrightarrow{AC}])$

Questa costruzione è indipendente dalla scelta del rappresentante di $\vec{U}$.

Se denotiamo con $V_2$ l’insieme dei vettori liberi nel piano, la somma è una funzione:
$+:V_2\times V_2$
l’insieme delle coppie ordinate di elementi di $V_2$

$(\vec{U},\vec{V})\mapsto \vec{U}+\vec{V}$
coppia ordinata

Se $\lambda \in \mathbb{R}$ e $\vec{V}$ è un vettore libero, possiamo definire $\lambda \cdot \vec{V}$:
$\lambda \cdot \vec{V}:=[\lambda \cdot \overrightarrow{AB}]$
moltiplicazione per un numero di un vettore applicato

Questa definizione è ben posta, ovvero non dipende dal rappresentante che abbiamo scelto.

La moltiplicazione per uno scalare è una funzione:
$\mathbb{R}\times V_2\to V_2$
coppia ordinata

$(\lambda ,\vec{V})\mapsto \lambda \cdot \vec{V}$

Definiamo il vettore libero nullo come:
$\vec{O}=\overrightarrow{AA}$

Notiamo che
$\vec{O}+\vec{V}=[\overrightarrow{AA}]+[\overrightarrow{AB}]=[\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}]=[\overrightarrow{AB}]=\vec{V}$
$\vec{V}+\vec{O}=[\overrightarrow{AB}]+[\overrightarrow{BB}]=[\overrightarrow{AB+BB}]=[\overrightarrow{BB}]=\vec{V}$

Quindi $\vec{O}$ si comporta come lo zero rispetto alla somma.

spazio vettoriale

Risorse