ordine di un elemento g

Definizione

Si dice ordine di un elemento $g$ di un gruppo finito $G$ il più piccolo numero natorale $n>0$ tale che:

1. $g^n=1$ notazione moltiplicativa
2. $ng=0$ notazione additiva

Se $n$ non esiste, si dice che l’elemento $g$ è di ordine infinito.

Esempio

Sia $G={\mathbb{Z}}_6=\{0,1,2,3,4,5\}$ con l’operazione di somma modulo 6. Allora:

• L’elemento $0$ ha ordine $1$ perché $0+0\equiv 0\mathrm{mod}6$.
• L’elemento $1$ ha ordine $6$ perché $1+1+1+1+1+1\equiv 0\mathrm{mod}6$.
• L’elemento $2$ ha ordine $3$ perché $2+2+2\equiv 0\mathrm{mod}6$.
• L’elemento $3$ ha ordine $2$ perché $3+3\equiv 0\mathrm{mod}6$.
• L’elemento $4$ ha ordine $3$ perché $4+4+4\equiv 0\mathrm{mod}6$.
• L’elemento $5$ ha ordine $6$ perché $5+5+5+5+5+5\equiv 0\mathrm{mod}6$.

Esempio

Sia $G=\mathbb{Z}$ con l’operazione di somma. Allora ogni elemento $n\in \mathbb{Z}$ ha ordine infinito perché non esiste un numero naturale $k>0$ tale che $kn=0$ se $n\ne 0$. L’unico elemento con ordine finito è lo $0$, che ha ordine $1$.

Risorse