osservazioni ed esempi di insiemi aperti e chiusi in uno spazio topologico

Osservazione

Per una topologia $\mathcal{T}$ su $X$ abbiamo:

1. $\varnothing$ è aperto e chiuso in $X$
2. $X$ è aperto e chiuso in $X$
3. unioni arbitrarie di aperti di $X$ sono aperte in $X$
4. intersezioni finite di aperti di $X$ sono aperte in $X$ (per induzione):

$$\forall n\in \mathbb{N},\forall U_1,\dots ,U_n\in \mathcal{T}\Rightarrow \bigcap _{i=1}^n{U}_i\in \mathcal{T}.$$

(3’) intersezioni arbitrarie di chiusi sono chiuse (legge di De Morgan):

$$\forall \{C_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}\text{ famiglia di chiusi in }X\Rightarrow \bigcap _{\alpha \in A}{C}_{\alpha }\text{ chiuso in }X$$

(4’) unioni finite di chiusi sono chiuse (legge di De Morgan):

$$\forall n\in \mathbb{N},\forall C_1,\dots ,C_n\text{ chiusi in }X\Rightarrow \bigcup _{i=1}^n{C}_i\text{ chiuso in }X$$

Inoltre, per determinare $\mathcal{T}$ è sufficiente dichiarare gli aperti (oppure i chiusi) in modo che siano soddisfatte le proprietà precedenti. Per gli aperti uso 1, 2, 3, 4, o per i chiusi 1, 2, 3’, 4’.

Esempi

I seguenti esempi sono basilari e verranno usati spesso.

1. Topologia banale su $X$:
   ${\mathcal{T}}_{\text{ban}}=\{\varnothing ,X\}\sim {\mathcal{X}}_{\text{ban}}=(X,{\mathcal{T}}_{\text{ban}})$.
   È la topologia minimale, gli unici aperti sono il vuoto e lo spazio.

2. Topologia discreta su $X$:
   ${\mathcal{T}}_{\text{dis}}=\mathcal{P}(X)\sim {\mathcal{X}}_{\text{dis}}=(X,{\mathcal{T}}_{\text{dis}})$.
   È la topologia massimale, tutti i sottoinsiemi sono aperti e chiusi. Quindi i singoletti sono tutti aperti e chiusi.

3. Topologia cofinita su $X$:
   ${\mathcal{T}}_{\text{cof}}=\{U\subset X||X-U|<\infty \}\cup \{\varnothing \}\sim {\mathcal{X}}_{\text{cof}}=(X,{\mathcal{T}}_{\text{cof}})$.
   Gli aperti sono i complementari dei sottoinsiemi finiti e il vuoto.
   I chiusi sono i sottoinsiemi finiti e $X$.

Vediamo per la topologia cofinita rispetta i 4 punti:

1. $\varnothing \in {\mathcal{T}}_{\text{cof}}$ per definizione.
2. $X\in {\mathcal{T}}_{\text{cof}}$ perché $|X-X|=0<\infty$.
3. Sia $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ una famiglia di aperti in ${\mathcal{T}}_{\text{cof}}$, $U_{\alpha }\ne \varnothing$ per ogni $\alpha \in A$. Allora $X-\bigcup _{\alpha \in A}{U}_{\alpha }=\bigcap _{\alpha \in A}(X-U_{\alpha })\Rightarrow \bigcup _{\alpha \in A}{U}_{\alpha }\in {\mathcal{T}}_{\text{cof}}$ finito.
4. Siano $U,V\in {\mathcal{T}}_{\text{cof}}$, $U,V\ne \varnothing$.
   1. $U\cap V=\varnothing \in {\mathcal{T}}_{\text{cof}}$ per definizione.
   2. $U\cap V\ne \varnothing \Rightarrow X-(U\cap V)=(X-U)\cup (X-V)\Rightarrow U\cap V\in {\mathcal{T}}_{\text{cof}}$ finito.

Osservazione

1. $X$ discreto $\iff$ i singoletti dei punti sono aperti.
2. ${\mathcal{T}}_{\text{dis}}={\mathcal{T}}_{\text{cof}}\iff X$ finito.

Risorse