prime proprietà delle funzioni continue

Teoremi

1. Teorema (permanenza del segno)
   Sia $f:E\to \mathbb{R}$ sia $x_0$ e $f$ sia continua in $x_0$,
   se $f(x_0)>0$ $(<0)$ allora esiste un intorno di $x_0$ in cui la funzione ha segno $>0$ $(<0)$

2. Teorema (operazioni)
   Siano $f,g$ funzioni continue in $x_0$
   allora $f\pm g,f\cdot g$ e $\frac{f}{g}$ (se $g\ne 0$) sono continue in $x_0$

3. Teorema (composta di funzioni continue)
   Sia $f:E\to \mathbb{R},x_0\in E$
   Sia $g:F\to \mathbb{R},f(x_0)\in F$, (e $f(E)\subseteq F$)
   Supponiamo che $f$ sia continua in $x_0$
   e che $g$ sia continua in $f(x_0)$
   allora $f\circ g$ è continua in $x_0$.
   Ossia la composta di una funzione continua è ancora continua.

Dimostrazione del 3.

Continuità di $g$ in $f(x_0)$:
$\underset{y\to f(x_0)}{\lim }g(y)=g(f(x_0))$

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall y\in F,|y-f(x_0)|<\delta \Rightarrow |g(y)-g(f(x_0))|<\epsilon$

Continuità di $f$ in $x_0$:
$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$

$\forall \delta >0,\exists \rho >0:\forall x\in E,|x-x_0|<\rho \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\delta$

$\boxed{\forall \epsilon ,\exists \delta \text{ e }\forall \delta ,\exists \rho }$ metto assieme

$\forall \epsilon >0,\exists \rho >0:\forall x\in E,$
$|x-x_0|<\rho (\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\delta )\Rightarrow |g(f(x))-g(f(x_0))|<\epsilon$
$\Updownarrow$
$\underset{x\to x_0}{\lim }g(f(x))=g(f(x_0))$

$\square$

Risorse