primo teorema di Bolzano-Weierstrass in R

Teorema

Sia $E\subseteq \mathbb{R}$, $E$ infinito e limitato
allora $\exists \xi \in \mathbb{R}:\xi$ è punto di accumulazione per $E$,
cioè $\mathcal{D}E\ne \varnothing$.

Dimostrazione

$E$ è limitato, cioè

• superiormente limitato $(\Leftarrow \exists M:\forall x\in E,x\le M)$
• inferiore limitato $(\Leftarrow \exists k:\forall x\in E,x\ge k)$

e non vuoto

$\exists \alpha =infE$
$\exists \beta =supE$

$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$

cioè $\exists \alpha ,\beta \in \mathbb{R}:E\subseteq [\alpha ,\beta ]$

chiamo $a_0=\alpha$ e $b_0=\beta$
considero $c_0=\frac{a_0+b_0}{2}$ punto medio
considero $[a_0,c_0]$ e $[c_0,b_0]$
almeno uno dei due contiene infiniti punti di $E$,
ne scelgo uno che contiene infiniti punti di $E$,

lo chiamo $[a_1,b_1]$
considero $c_1=\frac{a_1+b_1}{2}$ punto medio
o $[a_1,c_1]$ o $[c_1,b_1]$ contiene infiniti punti di $E$
ne scelgo uno che contiene infiniti punti di $E$,

lo chiamo $[a_2,b_2]$
$\dots$

Ripeto il procedimento e costruisco una successione di intorni chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati

$(I_n{)}_n,I_n=[a_n,b_n]$

e ciascuno contiene infiniti punti di $E$.

Applico la forma forte del teorema di Cantor

$\exists \xi \in \mathbb{R}:\bigcap _n[a_n,b_n]=\{\xi \}$

per concludere provo che $\xi$ è punto di accumulazione per $E$

Prendo $r>0$

devo provare che in $]\xi -r,\xi +r[$ ci sono infiniti punti di $E$

basti che ci sia $[a_n,b_n]⊊]\xi -r,\xi +r[$

$b_n-a_n=\frac{b_0-a_0}{2^n}$

$\xi \in [a_n,b_n]$

$|\xi -a_n|\le b_n-a_n=\frac{b_0-a_0}{2^n}$
$|\xi -b_n|\le b_n-a_n=\frac{b_0-a_0}{2^n}$

$]\xi -r,\xi +r[\supseteq [a_n,b_n]$

la condizione che lo garantisce è che

$\frac{b_0-a_0}{2^n}<r$

la domanda finale è: c’è $n$ tale che $\frac{b_0-a_0}{2^n}<r$?

Sì, per Archimede

$\frac{b_0-a_0}{2^n}\le \frac{b_0-a_0}{n}<r$

(per induzione $n\le 2^n$)

Risorse