punto di accumulazione e derivato in R

Definizione

Sia $E\subseteq \mathbb{R}$, sia $x_0\in \mathbb{R}$,

$x_0$ si dice punto di accumulazione per $E$ se
$\forall r>0,(]x_0-r,x_0+r[\cap E)\setminus \{x_0\}\ne \varnothing$

(cioè $x_0$ è un punto di accumulazione per $E$ se in ogni intorno di $x_0$ ci sono punti di $E$ diversi da $x_0$)

L’insieme dei punti di accumulazione si chiama derivato di $E$, si indica con $\mathcal{D}E$.

Esempio
$E=]1,2[$
$\mathcal{D}E=[1,2]$

Esempio
$E=\{\frac{1}{n},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$
$\mathcal{D}E=\varnothing$

Esempio
$E=\mathbb{N}$
$\mathcal{D}E=\varnothing$

Osservazione
$E\subseteq \mathbb{R}$, $x_0\in \mathbb{R}$,

$x_0$ è punto di accumulazione per $E$ è equivalente a dire che in ogni intorno di $x_0$ ci sono infiniti punti di $E$.

Se in ogni intorno di $x_0$ ci sono infiniti punti di $E$, è vero che in ogni intorno di $x_0$ ci sono punti di $E$ diversi da $x_0$?

Mostriamo il viceversa: se $x_0$ è punto di accumulazione per $E$, allora in ogni suo intorno ci sono infiniti punti di $E$, supponiamo che $x_0$ abbia un intorno in cui ci sono un numero finito di punti di $E$

$]x_0-r,x_0+r[\cap E=\{x_1,x_2,\dots x_k\}$

provo che $x_0$ non è punto di accumulazione per $E$

considero $r_0=min\{|x_0-x_j|,j=1,2,3,\dots ,k,x_j\ne x_0\}$

siccome sono in numero finito, $r_0>0$ e in
$(]x_0-r_0,x_0+r_0[\cap E)\setminus \{x_0\}=\varnothing$

Conseguenza
Gli insiemi finiti non hanno (mai) punto di accumulazione.

Risorse