retta di Sorgenfrey

Definizione

${\mathcal{B}}_{\ell }=\{[a,b)\mid a<b\}$ è base per una topologia su $\mathbb{R}$ detta topologia di Sorgenfrey o topologia degli intervalli aperti a destra.
Denotiamo con ${\mathbb{R}}_{\ell }$ questo spazio topologico (retta di Sorgenfrey).

1. ${\bigcup }_{a<b}[a,b)=\mathbb{R}$
2. $[a,b)\cap [c,d)=\{\begin{array}{l}[e,f)\text{con }e,f\in \{a,b,c,d\}\\ \varnothing \end{array}$

Osservazioni

• $(a,b)={\bigcup }_{a<c<b}[c,b)$ aperto in ${\mathbb{R}}_{\ell }$
  $\Rightarrow$ aperti Euclidei sono aperti in ${\mathbb{R}}_{\ell }$ (ma non viceversa). Inoltre, i chiusi Euclidei di $\mathbb{R}$ sono chiusi in ${\mathbb{R}}_{\ell }$.

• $[a,+\infty )={\bigcup }_{c>a}[a,c)$ aperto in ${\mathbb{R}}_{\ell }$ (e anche chiuso).

• $[a,b]$ chiuso in ${\mathbb{R}}_{\ell }$ (perché chiuso in $\mathbb{R}$).

• $[a,b)={\mathbb{R}}_{\ell }-((-\infty ,a)\cup [b,+\infty ))$
  $\Rightarrow [a,b)$ chiuso (e aperto) in ${\mathbb{R}}_{\ell }$.

• $(-\infty ,b)$ aperto e chiuso.

${\mathcal{B}}_{\ell }\subseteq {\mathcal{B}}_E$ (base Euclidea) $\Rightarrow$ la topologia di Sorgenfrey è più fine di quella Euclidea.

Risorse