sottospazio topologico

Definizione

$Y \subset X$ con la topologia relativa è detto sottospazio topologico.

Qualunque sottoinsieme di uno spazio topologico è un sottospazio topologico con la topologia relativa.
Un sottospazio topologico $Y \subset X$ è a sua volta uno spazio topologico.
$V \subset Y$ è aperto in $Y ⟺ \exists U \subset X$ aperto in $X$ tale che $V = U \cap Y$ .
$C \subset Y$ è chiuso in $Y ⟺ \exists A \subset X$ chiuso in $X$ tale che $C = A \cap Y$ .
I sottoinsiemi di uno spazio topologico saranno sempre considerati con la topologia relativa, se non specificato diversamente.

$I := [0, 1] \subset R$ è un importante sottospazio topologico e lo consideriamo con la topologia Euclidea indotta da $R$ .
$R_{+} := [0, + \infty) \subset R$ è un altro esempio interessante.

Sia $Y \subset X$ un sottospazio topologico e sia $B$ una base per $X$ . Allora

B_{Y} ≅ {B \cap Y ∣ B \in B}

è una base per $Y$ .

Esercizio (usare le definizioni di topologia relativa e di base).

Sia $Y \subset X$ un sottospazio, $y \in Y$ e $J_{y}$ base di intorni di $y$ in $X$ . Allora

J_{Y, y} ≅ {J \cap Y ∣ J \in J_{y}}

è una base di intorni di $y$ in $Y$ .

Esercizio (usare le definizioni).