spazio metrizzabile

Definizione

Uno spazio topologico $(X,\mathcal{T})$ è detto spazio metrizzabile se esiste una metrica $d$ su $X$ che induce la topologia di $X$, ossia $\mathcal{T}={\mathcal{T}}_d$.

Esempi

• Gli intervalli aperti limitati di $\mathbb{R}$ sono le bocce aperte rispetto alla metrica Euclidea $\Rightarrow \mathbb{R}$ metrizzabile.

Osservazione

$X_{\text{dis}}$ metrizzabile perché

$d_{dis}(x,y)=\{\begin{array}{ll}0& x=y\\ 1& x\ne y\end{array}$

${\mathcal{B}}_{d_{\text{dis}}}(1,x)=\{x\},\forall x\in X$
quindi ${\mathcal{T}}_{d_{\text{dis}}}={\mathcal{T}}_{\text{dis}}$.

Osservazione

$X_{\text{ban}}$ non metrizzabile se $|X_{\text{ban}}|\ge 2$

per $x\ne y$ e $r=d(x,y)>0$ si ha che $y\notin B(x,r)$ aperto diverso da $\varnothing$

(perché esiste una palla aperta che non contiene tutti i punti di $X$)

Osservazione

$X_{\text{cof}}$ è metrizzabile se e solo se $|X_{\text{cof}}|<\infty$

spazi Euclidei e metrica Euclidea

Risorse