teorema boccie aperte generano la topologia metrica

Teorema

$(X,d)$ spazio metrico $\Rightarrow$

$${\mathcal{B}}_d:=\{B_d(x,r)\mid x\in X,r>0\}$$

base per una topologia ${\mathcal{T}}_d$ su $X$ (topologia indotta da $d$ o topologia metrica).

Dimostrazione

Osservazione precedente $\Rightarrow {\bigcup }_{x,r}B(x,r)=X$ (proprietà (1) delle basi).

$\forall x_1,x_2\in X$, $\forall r_1,r_2>0$, $\forall y\in B(x_1,r_1)\cap B(x_2,r_2)$ si ha

$$r:=\min (r_1-d(x_1,y),r_2-d(x_2,y))>0$$

$\forall z\in B(y,r)\Rightarrow d(x_1,z)\le d(x_1,y)+d(y,z)<d(x_1,y)+r\le r_1\Rightarrow z\in B(x_1,r_1)$ e similmente $z\in B(x_2,r_2)\Rightarrow$

$$y\in B(y,r)\subset B(x_1,r_1)\cap B(x_2,r_2)\text{(proprietaˋ (2) delle basi)}.$$

…

Osservazione

$U\in {\mathcal{T}}_d⟺\forall x\in U;\exists r>0\text{ tale che }{B}_d(x,r)\subset U$

Risorse