teorema condizione necessaria e sufficiente per l’integralibilità secondo Riemann

Teorema

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, limitata,
sono equivalenti:

$1)$ $f$ è integrabile secondo Riemann $(f\in \mathcal{R}([a,b]))$

$2)$ $\forall \epsilon >0,\exists \Delta \in \mathcal{D}:$
$S(f,\Delta )-s(f,\Delta )<\epsilon$

Dimostrazione

Supponiamo che $f$ sia integrabile secondo Riemann, allora
$sup(s(f,\Delta ))=inf(S(f,\Delta ))={\int }_{[a,b]}f\in \mathbb{R}$

Applico la seconda proprietà dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore

$\forall \epsilon >0,\exists \Delta \in \mathcal{D}:$
$s(f,\Delta )>{\int }_{[a,b]}f-\frac{\epsilon }{2}$

$\forall \epsilon >0,\exists \Gamma \in \mathcal{D}:$
$S(f,\Gamma )<{\int }_{[a,b]}f+\frac{\epsilon }{2}$

prendo $\Delta \cup \Gamma$

$s(f,\Delta \cup \Gamma )>s(f,\Delta )>{\int }_{[a,b]}f-\frac{\epsilon }{2}$
$S(f,\Delta \cup \Gamma )<S(f,\Gamma )<{\int }_{[a,b]}f+\frac{\epsilon }{2}$

la prima diventa
$-s(f,\Delta \cup \Gamma )<-{\int }_{[a,b]}f+\frac{\epsilon }{2}$
mentre la seconda
$S(f,\Delta \cup \Gamma )<{\int }_{[a,b]}f+\frac{\epsilon }{2}$
e le sommo, ottenendo
$S(f,\Delta \cup \Gamma )-s(f,\Delta \cup \Gamma )<\epsilon$

Il viceversa si fa per assurdo.

Idea
Se $sup(s(f,\Delta ))<inf(S(f,\Delta ))$,
basta fissare $\epsilon =\frac{1}{4}(inf-sup)$
e non ci saranno $\Delta \in \mathcal{D}$ che renderanno vera la $2)$.

$\square$

Risorse