teorema connessione dell’immagine di una funzione continua su un insieme connesso

Teorema

Se $f:C\subseteq {\mathbb{R}}^N\to \mathbb{R}$ è continua e $C$ è connesso, allora $f(C)$ è connesso.

Dimostrazione

Siano $y_1,y_2\in f(C)$ e siano $\underline{x_1},\underline{x_2}\in C$ tali che $f(\underline{x_1})=y_1$ e $f(\underline{x_2})=y_2$.

Definendo $\tilde{\gamma }=f-\gamma$, è continua e
$\tilde{\gamma }(0)=f(\gamma (0))=f(\underline{x_1})=y_1$
$\tilde{\gamma }(1)=f(\gamma (1))=f(\underline{x_2})=y_2$
e dunque ho concluso.

Risorse