teorema dei sottogruppi nei gruppi abeliani finiti

Teorema

Sia $G$ un gruppo abeliano finito di ordine $n$. Sia $m$ divisore di $n$. Allora $G$ contiene un sottogruppo di ordine $m$.

Dimostrazione

La dimostrazione si fa per induzione completa su $n=|G|$.

Tenendo conto dei risultati precedenti, possiamo già dire che il risultato è vero per numeri primi. Supponiamo dunque $n$ non primo.

Sia $m$ divisore di $n$. Sia $p$ primo tale che $p\mid m$ (naturalmente si ha anche $p\mid n$).

Per il teorema di Cauchy $\exists h\in G$ di ordine $p$ e dunque $H=⟨h⟩\subset G$ è sottogruppo di ordine $p$.

A questo punto consideriamo $G/H$, il quale è un gruppo finito con meno elementi di $G$ ed ha ordine $\frac{n}{p}$ e siccome $p\mid m$, $m\mid n$ otteniamo $\frac{m}{p}\mid \frac{n}{p}$.

Per induzione $G/H$ ha un sottogruppo di ordine $\frac{m}{p}$. Ricordando l’Osservazione (II teorema di omomorfismo) abbiamo che tutti i sottogruppi di $G/H$ sono della forma $K/H$.

Poniamo dunque $|K/H|=\frac{m}{p}$ e, per Lagrange, $=|K|/|H|=|K|/p$ dunque $|K|=m$ è un sottogruppo di $G$ di ordine $m$.

Osservazione

Negli ultimi due teoremi l’ipotesi che $G$ sia abeliano è fondamentale, infatti è necessaria questa proprietà affinché $H$ sia senza dubbio un sottogruppo normale di $G$ e si possa così costruire il quoziente $G/H$.

Risorse