teorema dei valori intermedi in R

Teorema

Sia $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ una funzione continua,
supponiamo che $g(a)=\alpha$ e $g(b)=\beta$, con (per esempio) $\alpha <\beta$,
sia $\gamma \in ]\alpha ,\beta [$,
allora $\exists \xi \in ]a,b[$ tale che $g(\xi )=\gamma$

(una funzione continua su un intervallo, se assume due valori, allora assume tutti i valori intermedi)

Dimostrazione

Considero $f(x)=g(x)-\gamma$
$f:[a,b]\to \mathbb{R}$
$f$ è continua (somma di funzioni continue)

$f(a)=g(a)-\gamma =\alpha -\gamma <0$
$f(b)=g(b)-\gamma =\beta -\gamma >0$

per il teorema degli zeri
$\exists \xi \in ]a,b[:f(\xi )=0$
$f(\xi )=g(\xi )-\gamma =0$
$\Downarrow$
$g(\xi )=\gamma$

Conclusione
Le funzioni continue mandano intervalli in intervalli.

Risorse