teorema del limite di funzioni monotone in R

Teorema

Sia $f:E\to \mathbb{R}$, $E\subseteq \mathbb{R}$

supponiamo che $x_0=supE$, con $x_0\notin E$
(per esempio: verificare che se $supE\notin E$ allora $supE$ è un punto di accumulazione per $E$)

sia $f$ una funzione monotona,
allora esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$ e vale

• $sup(f(E))$ se crescente
• $inf(f(E))$ se decrescente

Dimostrazione

Supponiamo $x_0\in \mathbb{R}$,
supponiamo che $f$ sia crescente
supponiamo che $sup(f(E))=L\in \mathbb{R}$

si tratta di provare che $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L$

$1)$ $L$ è il $sup(f(E))\Rightarrow \forall x\in E,f(x)\in L$
$2)$ $L$ è il $sup(f(E))\Rightarrow \forall \epsilon >0,\exists \overline{x}\in E:f(\overline{x})>L-\epsilon$

adesso considero $x\in E,\overline{x}<x$
$f$ è crescente $\Rightarrow f(\overline{x})\le f(x)$

metto tutto assieme

$\forall \epsilon >0,\exists \overline{x}\in E:\forall x\in E,$
$\overline{x}<x<x_0\Rightarrow L-\epsilon <f(\overline{x})\le f(x)\le L<L+\epsilon$

riassunto

$\forall \epsilon >0,\exists \overline{x}\in E:\forall x\in E,$
$\overline{x}<x<x_0\Rightarrow L-\epsilon <f(x)<L+\epsilon$
$\Updownarrow$
$|f(x)-L|<\epsilon$

Risorse