teorema della base unica

Teorema

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ finitamente generato; un sottoinsieme $B\subseteq V$, $B=\{v_1\dots ,v_n\}$ è una base di $V$ se e solo se $v\in V$ si può scrivere in modo unico come combinazione lineare di $B$.

Dimostrazione

"$\Rightarrow$"
Sia $B$ una base di $V$, devo dimostrare che ogni $v\in V$ si può scrivere come combinazione lineare di $B$ in modo unico; sia $v\in V$; dato che $B$ è in particolare un sistema di generatori per $V$, allora $v$ si scrive come combinazione lineare di $B$, $v=\lambda v_1+\cdots +\lambda v_n$, dobbiamo mostrare l’unicità di tale scrittura; supponiamo che ne esista un’altra

$v={\mu }_1{v}_1+\cdots +{\mu }_n{v}_n,{\mu }_i\in K$

allora ${\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_n={\mu }_1{v}_1+\cdots +{\mu }_n{v}_n$, pertanto

$({\lambda }_1+{\mu }_1)v_1+\cdots +({\lambda }_n+{\mu }_n)v_n=0$

questa è una combinazione lineare nulla di $v_1,\dots ,v_n$; dato che $B$ è linearmente indipendente, l’unica possibilità è che valga

${\lambda }_1-{\mu }_1=\cdots ={\lambda }_n-{\mu }_n=0$ se e solo se ${\lambda }_1={\mu }_1,\dots ,{\lambda }_n={\mu }_n$

il che prova l’unicità della scrittura.

"$\Leftarrow$"

supponiamo che ogni $v\in V$ si scriva come unica combinazione lineare di $B$; allora in particolare $B$ è un sistema di generatori per $V$; dimostriamo che gli elementi di $B$ sono linearmente indipendenti; per farlo, supponiamo che esista una combinazione lineare nulla di $v_1,\dots ,v_n$

${\lambda }_1{v}_1+\cdots +{\lambda }_n{v}_n=0$

d’altra parte, possiamo scrivere $0=0\cdot v_1+\cdots +0\cdot v_n$; dato che la scrittura di $0$ come combinazione lineare di $\{v_1,\dots ,v_n\}$ è unica, discende che ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_n=0$, ovvero che $v_1,\dots ,v_n$ sono linearmente indipendenti.

Risorse