combinazione lineare (span)

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e siano $v_1,\dots ,v_n\in V$; definiamo
$span(v_1,\dots ,v_n):=\{{\lambda }_1\cdot v_1+\cdots +{\lambda }_n\cdot v_n:{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K\}$ = {combinazioni lineari di $v_1,\dots ,v_n$}

Lemma
$span(v_1,\dots ,v_n)$ è uno sottospazio vettoriale di $V$.

Dimostrazione
$1)$ $0=0\cdot v_1+\cdots +0\cdot v_n$, dunque $0\in span(v_1,\dots ,v_n)$

$2)$ siano $u,w\in span(v_1,\dots ,v_n)$, dobbiamo mostrare che $u+w\in span(v_1,\dots ,v_n)$; per ipotesi $u=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i$, con ${\lambda }_i\in K$ e $W=\sum _{i=1}^n{\mu }_i{w}_i$, con ${\mu }_i\in K$; allora $u+w=\sum _{i=1}^n({\lambda }_i+{\mu }_i)v_i$, dunque $u+w\in span(v_1,\dots ,v_n)$

$3)$ siano $u\in span(v_1,\dots ,v_n)$ e $\lambda \in K$, devo mostrare che $\lambda \cdot u\in span(v_1,\dots ,v_n)$; per ipotesi $u=\lambda \cdot v_1+\cdots +\lambda \cdot v_n$, con $\lambda \in K$; allora $\lambda \cdot u=(\lambda \cdot {\lambda }_1)\cdot v_1+\cdots +(\lambda \cdot {\lambda }_n)\cdot v_n$, dunque $\lambda \cdot u\in span(v_1,\dots ,v_n)$

sistema di generatori

Risorse