teorema di compattezza di R

Teorema

In $\mathbb{R}$, le successioni di Cauchy sono convergenti.

Dimostrazione

In tre passi:

$1)$ Una successione di Cauchy è limitata

$(a_n{)}_n$ di Cauchy, significa
$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n,m,$
$n,m>\overline{n}\Rightarrow |a_n-a_m|<\epsilon$

fissiamo per esempio $\epsilon =1$.

Allora $\exists \overline{n}:\forall n,m,$
$n,m>\overline{n}\Rightarrow |a_n-a_m|<1$

quindi $\forall m>\overline{n},|a_{\overline{n}+1}-a_m|<1$

quindi da $n+1$ in poi
$|a_n-a_{\overline{n}+1}|<1$

e anche
$a_n\in ]a_{\overline{n}+1}-1,a_{\overline{n}+1}+1[$
(l’intervallo è fissato, è di lunghezza 2)

allora $(a_n{)}_n$ ha $\overline{n}$ termini che fanno quello che voglio e da $n+1$ in poi sono dentro a un intervallo fissato, quindi è limitato.

$2)$ Applico il teorema di Bolzano-Weierstrass

$(a_n{)}_n$ di Cauchy
$\Downarrow$
$(a_n{)}_n$ è limitata
$\Downarrow$
$(a_n{)}_n$ ha una sottosuccessione convergente

$3)$ “se una successione di Cauchy ha una sottosuccessione convergente, allora tutta la successione è convergente”

$(a_n{)}_n$ di Cauchy
$\forall \epsilon >0,\exists \overline{n}:\forall n,m,$
$n,m>\overline{n}\Rightarrow \boxed{|a_n-a_m|<\frac{\epsilon }{2}}$ $(\ast )$

$(a_{n_k}{)}_k$ è una sottosuccessione convergente a $\overline{a}$
$\forall \epsilon >0,\exists \overline{k}:\forall k,$
$k>\overline{k}\Rightarrow \boxed{|a_{n_k}-\overline{a}|<\frac{\epsilon }{2}}$ $(\ast \ast )$

adesso prendo $n>\overline{n}$ e $k>max\{\overline{n},\overline{k}\}$

$|a_n-\overline{a}|\le |a_n-a_{n_k}|+|a_{n_k}-\overline{a}|$

dato che $n>\overline{n}$, $n_k\ge k>\overline{n}$
$\Downarrow$
$|a_n-\overline{a}|<\frac{\epsilon }{2}$
$\Uparrow$
$(\ast )$

e dato che $k>\overline{k}$
$\Downarrow$
$|a_{n_k}-\overline{a}|<\frac{\epsilon }{2}$
$\Uparrow$
$(\ast \ast )$

Allora $\forall \epsilon ,\exists \overline{n}$ tale che se $n>\overline{n}$ allora $|a_n-\overline{a}|<\epsilon$
$\Downarrow$
$\underset{n}{\lim }{a}_n=\overline{a}$

Risorse