teorema di corrispondenza

Teorema

Sia $G$ gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo normale. Sia $\pi :G\to G/H$ la proiezione canonica.
Sia $\mathcal{A}=\{K|K\text{ sottogruppo di }G\text{ e }H\subseteq K\}$.
Sia $\mathcal{B}=\{V|V\text{ sottogruppo di }G/H\}$.
Allora $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$ sono in biezione e più precisamente esiste un’applicazione $\phi :\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ e una applicazione inversa $\psi :\mathcal{B}\to \mathcal{A}$, tale che $\phi \circ \psi =i{d}_{\mathcal{B}}$ e $\psi \circ \phi =i{d}_{\mathcal{A}}$ (con $id$ identità). $\varphi (K)=K/H$ è sottogruppo di $G/H$ e $\psi (V)={\pi }^{-1}(V)$.

Inoltre:

$$\frac{G/H}{H/K}\cong G/K$$

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