teorema di estrazione di una base

Teorema

Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ finitamente generato; sia $\{v_1,\dots ,v_k\}$ un sistema di generatori di $V$; allora esiste $B\subseteq \{v_1,\dots ,v_k\}$ tale che $B$ è una base di $V$.

Dimostrazione

(idea) costruiamo questa base $B$ in maniera algoritmica e possiamo supporre che $V\ne \{0\}$ (perché il caso $V=\{0\}$ è di facile dimostrazione), useremo l’algoritmo dello scarto:

1. inizializziamo $B=\{\}$
2. consideriamo $v_1$; se $v_1=0$, non facciamo nulla; se $v_1\ne 0$, aggiungiamo $v_1$ a $B$
3. consideriamo $v_2$; se $v_2\in span(v_1)$, lo scartiamo; altrimenti lo aggiungiamo a $B$
4. consideriamo $v_3$; se $v_3\in span(v_1,v_2)$, lo scartiamo; altrimenti lo aggiungiamo a $B$
5. $\dots$

otteniamo un sottoinsieme di $\{v_1,\dots ,v_k\}$ che si può dimostrare essere una base di $V$.

base di uno sottospazio vettoriale
teorema del completamento o dell’estensione di una base

Risorse