teorema di Rolle in R

Teorema

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$,

• $f$ continua su $[a,b]$
• $f$ derivabile su $]a,b[$
• $f(a)=f(b)$

Allora $\exists \xi \in ]a,b[:f^{\prime }(\xi )=0$

Dimostrazione

Osservo che $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ è continua
quindi posso applicare il teorema di Weierstrass
la funzione ha massimo e minimo assoluti

distinguo due casi:

$1)$ gli estremi $a$ e $b$ sono punti di massimo e di minimo.
Cioè $a$ punto di massimo, $b$ punto di minimo
oppure $a$ punto di minimo, $b$ punto di massimo
siccome $f(a)=f(b)$, questo avviene solo se $f$ è costante.

In questo caso, $f^{\prime }(x)=0$ per ogni $x\in ]a,b[$

$2)$ $f$ non è costante, allora almeno uno tra i punti di massimo o punti di minimo è punto interno,
posso applicare il teorema di Fermat
un punto di massimo o di minimo interno in cui la $f$ sia derivabile,
la derivata è uguale a zero.

Risorse