teorema di struttura per sistemi lineari omogenei

Teorema

Consideriamo un sistema lineare omogeneo di $m$ equazioni ad $n$ incognite $AX=0$ ($0$ è la matrice $n\times 1$ con tutte le entrate nulle).
Siano $s,s^{\prime }\in K^n$ due soluzioni del sistema e sia $\lambda \in K$; allora:

1. $s+s^{\prime }$ è soluzione del sistema lineare
2. $\lambda s$ è soluzione del sistema lineare

pertanto ricordando che il vettore nullo $0\in K^n$ è sempre soluzione del sistema omogeneo, otteniamo che l’insieme delle soluzioni di $AX=0$, ovvero l’insieme

$\left\{r\in K^n:A\cdot r=0\right\}$

è un sottospazio vettoriale di $K^n$.

Osservazione
Vale che, se $A\in M_{n,m}(K)$ e $s\in K^n$ e $\lambda \in K$, allora $A\cdot (\lambda \cdot s)=\lambda \cdot (A\cdot s)$.

Dimostrazione

1- Dato che $s,s^{\prime }$ siano soluzioni, vale che

$A\cdot s=0$ e $A\cdot s^{\prime }=0$

per mostrare che $s+s^{\prime }$ è soluzione dobbiamo dimostrare che

$A\cdot (s+s^{\prime })=0$

$A\cdot (s+s^{\prime })=A\cdot s+A\cdot s^{\prime }=0+0=0$

(il prodotto righe per colonne soddisfa la proprietà distributiva)

Quindi $s+s^{\prime }$ è soluzione.

2- Dato che $s$ è soluzione, vale che

$A\cdot s=0$

per mostrare che $\lambda \cdot s$ è soluzione dobbiamo dimostrare che

A $\cdot (\lambda \cdot s)=0$

A $\cdot (\lambda \cdot s)=\lambda \cdot (A\cdot s)=\lambda \cdot 0=0$

Quindi $\lambda \cdot s$ è soluzione.

teorema di struttura per sistemi lineari arbitrari

Risorse