teorema di Torricelli-Barrow

Teorema

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua,
(allora $f$ è integrabile)
sia $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ la sua funzione integrale,
allora $F$ è derivabile e
$\forall x\in [a,b],F^{\prime }(x)=f(x)$

Osservazione
Se $G$ è una primitiva di $f$ si ha

${\int }_a^{b}f(t)dt=G(b)-G(a)$

Dimostrazione

(Senza passare per la dimostrazione del teorema fondamentale)

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua $\Rightarrow$ $f$ è integrabile secondo Riemann
e $\forall \Delta \in \mathcal{D},$
$s(f,\Delta )\le {\int }_a^{b}f(t)dt\le S(f,\Delta )$

in particolare $\Delta =\{a,b\}$ (la suddivisione meno fine)

$in{f}_{x\in [a,b]}f(b-a)\le {\int }_a^{b}f(t)dt\le su{p}_{x\in [a,b]}f(b-a)$

$minf(b-a)\le {\int }_a^{b}f(t)dt\le maxf(b-a)$

$minf\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(t)dt\le maxf$

$f(x_{min})\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(t)dt\le f(x_{max})$

applico il teorema dei valori intermedi,
se $f$ continua su $[a,b]$,
$\exists \xi \in [a,b]:f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(t)dt$
(teorema della media integrale)

$R_{\overline{x}}^F(x)=\frac{F(x)-F(\overline{x})}{x-\overline{x}}=$

$=\frac{{\int }_a^{x}f(t)dt-{\int }_a^{\overline{x}}f(t)dt}{x-\overline{x}}=\frac{1}{x-\overline{x}}{\int }_{\overline{x}}^{x}f(t)dt$

per il teorema della media integrale
$=f(\xi )$ con $\overline{x}<\xi <x$

allora $\underset{x\to \overline{x}}{\lim }{R}_{\overline{x}}^F(x)=\underset{x\to \overline{x}}{\lim }\frac{1}{x-\overline{x}}{\int }_{\overline{x}}^{x}f(t)dt=\underset{x\to \overline{x}}{\lim }f(\xi )=$ con $\overline{x}<\xi <x$

$=\underset{\xi \to \overline{x}}{\lim }f(\xi )=f(\overline{x})$

Corollario
Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua,
sia $G$ una sua primitiva,
allora ${\int }_a^{b}f(t)dt=G(b)-G(a)$

Dimostrazione
Da Torricelli so che $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ funzione integrale,
è una primitiva di $f$
so che allora $F-G=c$
poi $F(a)={\int }_a^{a}f(t)dt=0$
quindi $F(a)-G(a)=c$
si ha $0-G(a)=c$,
quindi la costante è $-G(a)$

Risorse