teorema fondamentale del calcolo integrale secondo Riemann

Teorema (precedente)

Sia $f$ integrabile secondo Riemann su $[a,b]$,
sia $F:[a,b]\to \mathbb{R},F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$
la sua funzione integrale,
allora $\exists M>0:\forall x_1,x_2\in [a,b]$,
$|F(x_1)-F(x_2)|\le M|x_1-x_2|$

In particolare $F$ è continua.

Dimostrazione
Sia $f$ integrabile secondo Riemann,
quindi $f$ è limitata,
cioè $\exists M>0:\forall x\in [a,b],|f(x)|<M$

ora $F(x_1)-F(x_2)={\int }_a^{x_1}f(t)dt-{\int }_a^{x_2}f(t)dt=$

$={\int }_a^{x_1}f(t)dt+{\int }_{x_2}^{a}f(t)dt=$

$={\int }_{x_2}^{a}f(t)dt+{\int }_a^{x_1}f(t)dt=$

$={\int }_{x_2}^{x_1}f(t)dt$

riassunto

$F(x_1)-F(x_2)={\int }_{x_2}^{x_1}f(t)dt$

quindi

$|F(x_1)-F(x_2)|=|{\int }_{x_2}^{x_1}f(t)dt|\le |{\int }_{x_2}^{x_1}|f(t)|dt|$

$|f(t)|<m$

$|F(x_1)-F(x_2)|\le |{\int }_{x_2}^{x_1}Mdt|=M|x_1-x_2|$

conclusione
$|F(x_1)-F(x_2)|\le M|x_2-x_1|$

Teorema (fondamentale del calcolo integrale)

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ integrabile secondo Riemann,
sia $\overline{x}\in [a,b]$, sia $f$ continua in $\overline{x}$,
sia $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ la funzione integrale di $f$,
allora $F$ è derivabile in $\overline{x}$ e $F^{\prime }(\overline{x})=f(\overline{x})$

Dimostrazione

Devo provare che $F$ è derivabile in $\overline{x}$ e che $F^{\prime }(\overline{x})=f(\overline{x})$

devo provare che $\underset{x\to \overline{x}}{\lim }{R}_{\overline{x}}^F(x)=f(\overline{x})$
cioè che $\underset{x\to \overline{x}}{\lim }{R}_{\overline{x}}^F(x)-f(\overline{x})=0$
scrivo $R_{\overline{x}}^F(x)-f(\overline{x})=$

$=\frac{F(x)-F(\overline{x})}{x-\overline{x}}-f(\overline{x})=$

$=\frac{{\int }_a^{x}f(t)dt-{\int }_a^{\overline{x}}f(t)dt}{x-\overline{x}}-f(\overline{x})=$

$=\frac{{\int }_{\overline{x}}^{x}f(t)dt}{x-\overline{x}}-f(\overline{x})$

$f(\overline{x})=\frac{{\int }_{\overline{x}}^{x}f(t)dt}{x-\overline{x}}$

$R_{\overline{x}}^F(x)=\frac{1}{x-\overline{x}}{\int }_{\overline{x}}^x(f(t)-f(\overline{x}))dt$

so che $\underset{x\to \overline{x}}{\lim }f(x)=f(\overline{x})$
(perché $f$ è continua in $\overline{x}$)

cioè $\underset{x\to \overline{x}}{\lim }f(x)-f(\overline{x})=0$

cioè $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,$
$|x-\overline{x}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(\overline{x})|<\epsilon$

considero $t\in [\overline{x},x]\Rightarrow |t-\overline{x}|<\delta$ se $|x-\overline{x}|<\delta$

allora $\boxed{|f(t)-f(\overline{x})|<\epsilon }$

$\frac{1}{|x-\overline{x}|}|{\int }_{\overline{x}}^x(f(t)-f(\overline{x}))dt|\le \frac{1}{|x-\overline{x}|}|{\int }_{\overline{x}}^x\boxed{|f(t)-f(\overline{x})|}dt|$

$\frac{1}{|x-\overline{x}|}|{\int }_{\overline{x}}^x(f(t)-f(\overline{x}))dt|\le \frac{1}{|x-\overline{x}|}|{\int }_{\overline{x}}^x\epsilon dt|=\epsilon$

conclusione
$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,$
$|x-\overline{x}|<\delta \Rightarrow |R_{\overline{x}}^F(x)-f(\overline{x})|<\epsilon$

cioè $\underset{x\to \overline{x}}{\lim }{R}_{\overline{x}}^F(x)=f(\overline{x})$

$\square$

Risorse