teorema irrazionalità di $2$

Teorema

Non esistono $k . m \in N$ tali che $(\frac{k}{m})^{2} = 2$ .

Supponiamo, per assurdo, che esistano.
Non è restrittivo supporre che $k$ e $m$ non abbiano fattori in comune,
allora

$\frac{k ^{2}}{m ^{2}} = 2 \Leftrightarrow k^{2} = 2 m^{2} \Leftrightarrow 2$ divide $k^{2}$

$k = p_{1}^{n_{1}} \cdot p_{2}^{n_{2}} \cdot p_{3}^{n_{3}} \cdot \dots p_{l}^{n_{l}}$

allora

$k^{2} = p_{1}^{2 n_{1}} \cdot p_{2}^{2 n_{2}} \cdot p_{3}^{2 n_{3}} \cdot \dots p_{l}^{2 n_{l}}$

allora $2$ divide $k$

allora $k = 2 n$

allora

$\frac{4 n ^{2}}{m ^{2}} = 2 \Leftrightarrow 4 n^{2} = 2 m^{2} \Leftrightarrow 2 n^{2} = m^{2} \Leftrightarrow 2$ divide $m^{2}$

allora $2$ divide $m$

quindi $2$ divide $k$ e $2$ divide $m$

allora hanno un fattore in comune, quindi non sono primi fra loro, che è un assurdo.