teorema rappresentazione di Riesz

Teorema per finite dimensioni

Per ogni $L\in \mathcal{L}({\mathbb{R}}^N,{\mathbb{R}}^M)$ esiste uno e un solo $\underline{a}\in {\mathbb{R}}^M$ tale che $L(\underline{x})=⟨\underline{a},\underline{x}⟩\forall \underline{x}\in {\mathbb{R}}^N$.

Dimostrazione

Fissiamo una base di ${\mathbb{R}}^N$ $\{{\underline{e}}_1,\dots ,{\underline{e}}_N\}$, $\underline{x}=(x_1,\dots ,x_N)$
$L(\underline{x})=L(x_1{\underline{e}}_1+\dots +x_N{\underline{e}}_N)=x_{1}L({\underline{e}}_1)+\dots +x_{N}L({\underline{e}}_N)=x_1{a}_1+\dots +x_N{a}_N=⟨\underline{a},\underline{x}⟩$
dove $\underline{a}=(a_1,\dots ,a_N)$.
Supponiamo che esista $\underline{b}\in {\mathbb{R}}^M$ tale che $L(\underline{x})=⟨\underline{b},\underline{x}⟩\forall \underline{x}\in {\mathbb{R}}^N$.
Poiché $L(\underline{x})=⟨\underline{x},\underline{a}⟩$ allora $⟨\underline{x},\underline{a}⟩=⟨\underline{x},\underline{b}⟩\forall \underline{x}\in {\mathbb{R}}^N$ e dunque $⟨\underline{x},\underline{a}-\underline{b}⟩=0\forall \underline{x}\in {\mathbb{R}}^N$ e quindi scelgo $\underline{x}=\underline{a}-\underline{b}$ e trovo che $⟨\underline{a}-\underline{b},\underline{a}-\underline{b}⟩=0$ allora $\underline{a}-\underline{b}=0$ e quindi $\underline{a}=\underline{b}$.

Risorse

Per gli spazi di Hilbert:

Sia $H$ uno spazio di Hilbert e sia $H^{\ast }$ il suo spazio duale, costituito di tutti i funzionali lineari continui da $H$ in $\mathbb{R}$ o in $\mathbb{C}$. Se $x$ è un elemento di $H$, la funzione ${\varphi }_x$ definita da:

$${\varphi }_x(y)=⟨y,x⟩,\forall y\in H$$

dove $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ indica il prodotto scalare dello spazio di Hilbert, è un elemento di $H^{\ast }$. Allora ogni elemento di $H^{\ast }$ può essere scritto unicamente in tale forma.