teorema se differenziabile allora continua in Rn

Teorema

Sia $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^N\to \mathbb{R}$, $A$ aperto e $\underline{x_0}\in A$.

Se $f$ è differenziabile in $\underline{x_0}$ allora $f$ è continua in $\underline{x_0}$.

Dimostrazione

$f(\underline{x})=f(\underline{x_0})+df(\underline{x_0})(\underline{x}-\underline{x_0})+o(\Vert \underline{x}-\underline{x_0}\Vert )$
per $\underline{x}\to \underline{x_0}$ si ha che $f(\underline{x})\to f(\underline{x_0})$.

Risorse