autovettore ed autospazio

Definizione

Sia $f$ come sopra e sia $\lambda$ un autovalore di $f$; diciamo che $v\in V$ è un autovettore (eigenvector) di $f$ relativo a $\lambda$ se $f(v)=\lambda v$; definiamo l’autospazio (eigenspace) di $\lambda$ l’insieme degli autovettori di $\lambda$ e lo denotiamo $Aut(\lambda )$.

Osservazione
Affinché $\lambda$ sia autovalore, deve esistere $v\in V$, $v\ne 0$, tale che $f(v)=\lambda v$; se $\lambda$ è autovalore; consideriamo autovettore relativo a $\lambda$ ogni vettore $w\in V$ tale che $f(w)=\lambda w$; in particolare $f(0)=\lambda \cdot 0=0$, dunque vale che $0\in Aut(\lambda )$ per ogni autovalore $\lambda$.

Proposizione
Sia $f:V\to V$ applicazione lineare, con $dimV$ finita, sia $\lambda$ un autovalore di $f$; allora l’autospazio di $\lambda$, $Aut(\lambda )$, è un sottospazio vettoriale di $V$.

Dimostrazione
$1.$ Sia $v\in V$, sia $\mu \in K$ e sia $v\in Aut(\lambda )$; dobbiamo mostrare che $\mu \cdot v\in Aut(\lambda )$; per ipotesi $f(v)=\lambda v$; ora
$\mu \cdot v\in Aut(\lambda )⟺f(\mu \cdot v)=\lambda \cdot (\mu \cdot v)$
d’altra parte $f(\mu \cdot v)=\mu \cdot f(v)=\mu \lambda v=\lambda \cdot (\mu \cdot v)$

$2.$ Siano $v_1,v_2\in V$, e supponiamo $v_1,v_2\in Aut(\lambda )$; dobbiamo mostrare che $v_1+v_2\in Aut(\lambda )$; per ipotesi $f(v_1)=\lambda v_1$ e $f(v_2)=\lambda v_2$, pertanto
$f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)=\lambda v_1+\lambda v_2=\lambda (v_1+v_2)$
dunque $v_1+v_2\in Aut(\lambda )$

Proposizione
Sia $f:V\to V$ applicazione lineare, con $dimV$ finita e siano $\lambda$ e $\mu$ due autovalori definiti di $f$; siano $v_1\in Aut(\lambda )$ e $v_2\in Aut(\mu )$; e supponiamo che $v_1\ne 0$ e $v_2\ne 0$; allora $v_1$ e $v_2$ sono linearmente indipendenti.

L’obiettivo delle nostre considerazioni sarà capire se, data una applicazione lineare, $f:V\to V$ sia possibile determinare una base $B$ di $V$ tutta costituita da autovettori. In tal caso, infatti, la matrice $M_B^B(f)$ è diagonale.

matrice diagonale
diagonalizzabile

Risorse